变限积分 的求导公式是微积分中的一个重要结果，描述了如何对一个带有积分上限或下限的函数进行求导。这个公式通常被称为 莱布尼茨积分法则（LeibnizintegralruleLeibniz integral ruleLeibnizintegralrule），或者称为变限积分的求导法则。
变限积分的形式
考虑一个变限积分：
F(x)=∫a(x)b(x)f(t) dt F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt F(x)=∫a(x)b(x)f(t)dt
其中 ( f(t) ) 是一个连续函数，( a(x) ) 和 ( b(x) ) 是 ( x ) 的可微函数。
变限积分的求导公式
变限积分的求导公式表明，函数 ( F(x) ) 对 ( x ) 的导数可以表示为：
F′(x)=f(b(x))⋅b′(x)−f(a(x))⋅a′(x) F'(x) = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x) F′(x)=f(b(x))⋅b′(x)−f(a(x))⋅a′(x)
推导过程
为了推导这个公式，我们可以使用微积分的基本定理和链式法则。
基本定理的应用：
根据微积分的基本定理，如果 ( f(t) ) 在区间 ([a(x), b(x)]) 上是连续的，那么 ( F(x) ) 是 ( f(t) ) 的一个原函数。
链式法则的应用：
我们需要对 ( F(x) ) 进行求导。考虑 ( F(x) ) 的定义：
F(x)=∫a(x)b(x)f(t) dt F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt F(x)=∫a(x)b(x)f(t)dt
我们可以将这个积分看作是两个函数的复合：一个是积分函数 ( \int_{a}^{b} f(t) , dt )，另一个是上限和下限函数 ( b(x) ) 和 ( a(x) )。
上限和下限的求导：
使用链式法则，我们可以分别对上限和下限进行求导。对于上限 ( b(x) )，我们有：
ddx(∫a(x)b(x)f(t) dt)=f(b(x))⋅b′(x) \frac{d}{dx} \left( \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt \right) = f(b(x)) \cdot b'(x) dxd(∫a(x)b(x)f(t)dt)=f(b(x))⋅b′(x)
对于下限 ( a(x) )，我们有：
ddx(∫a(x)b(x)f(t) dt)=−f(a(x))⋅a′(x) \frac{d}{dx} \left( \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt \right) = -f(a(x)) \cdot a'(x) dxd(∫a(x)b(x)f(t)dt)=−f(a(x))⋅a′(x)
合并结果：
将上限和下限的导数结果合并，我们得到：
F′(x)=f(b(x))⋅b′(x)−f(a(x))⋅a′(x) F'(x) = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x) F′(x)=f(b(x))⋅b′(x)−f(a(x))⋅a′(x)
理解
这个公式的直观理解是，当 ( x ) 变化时，积分上限 ( b(x) ) 和下限 ( a(x) ) 也会变化，从而影响积分的结果。公式中的每一项分别表示由于上限和下限变化而引起的积分值的变化率。
问题：为什么a(x)的求导会带负号？
在变限积分的求导公式中，对于下限 ( a(x) ) 的求导确实会带一个负号，这是因为在微积分的基本>定理中，积分下限的变化对积分值的影响是反向的。
微积分的基本定理
微积分的基本定理分为两部分，其中第二部分（也称为牛顿-莱布尼茨公式）表明，如果 ( f(t) ) 在区间 ([a, b]) 上是连续的，并且 ( F(t) ) 是 ( f(t) ) 的一个原函数，那么：
∫abf(t) dt=F(b)−F(a) \int_{a}^{b} f(t) \, dt = F(b) - F(a) ∫abf(t)dt=F(b)−F(a)
变限积分的求导
考虑一个变限积分：
F(x)=∫a(x)b(x)f(t) dt F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt F(x)=∫a(x)b(x)f(t)dt
我们希望求 ( F(x) ) 对 ( x ) 的导数。根据链式法则和微积分的基本定理，我们可以分别对上限 ( b(x) ) 和下限 ( a(x) ) 进行求导。
对于上限 ( b(x) )，我们有：
ddx(∫a(x)b(x)f(t) dt)=f(b(x))⋅b′(x) \frac{d}{dx} \left( \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt \right) = f(b(x)) \cdot b'(x) dxd(∫a(x)b(x)f(t)dt)=f(b(x))⋅b′(x)
这是因为当 ( b(x) ) 增加时，积分值也会增加。
对于下限 ( a(x) )，我们有：
ddx(∫a(x)b(x)f(t) dt)=−f(a(x))⋅a′(x) \frac{d}{dx} \left( \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt \right) = -f(a(x)) \cdot a'(x) dxd(∫a(x)b(x)f(t)dt)=−f(a(x))⋅a′(x)
这是因为当 ( a(x) ) 增加时，积分值会减少。这里的负号反映了积分下限增加对积分值的反向影响。
合并结果
将上限和下限的导数结果合并，我们得到：
F′(x)=f(b(x))⋅b′(x)−f(a(x))⋅a′(x) F'(x) = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x) F′(x)=f(b(x))⋅b′(x)−f(a(x))⋅a′(x)